基本事實和公理的區別

“公理”是人們在長期實踐中總結出來的基本數學知識并作為判定其它命題真假的根據，經過人類長期反復的實踐檢驗是真實的，大家普遍公認的、不需要由其他判斷加以證明、且也不能由其他判斷證明的命題和原理。一些學科就是建立在這樣一些公理的基礎上；“基本事實”是說人證物證都在，邏輯上能說明它是正確的。

公理的歷史發展

經由可靠的論證（三段論、推理規則）由前提（原有的知識）導至結論（新的知識）的邏輯演繹方法，是由古希臘人發展出來的，并已成為了現代數學的核心原則。除了重言式之外，沒有任何事物可被推導，若沒有任何事物被假定的話。公理即是導出特定一套演繹知識的基本假設。

公理不證自明，而所有其他的斷言（若談論的是數學，則為定理）則都必須借助這些基本假設才能被證明。然而，對數學知識的解釋從古至今已不太一樣，且最終“公理”這一詞對今日的數學家眼中和在亞里斯多德和歐幾里得眼中的意思也有了些許的不同。

古希臘人認為幾何學也是數種科學的其中之一，且視幾何學的定理和科學事實有同等地位。他們發展并使用邏輯演繹方法來作為避免錯誤的方法，并以此來建構及傳遞知識。亞里斯多德的后分析篇是對此傳統觀點的一決定性的闡述。

“公理”，以傳統的術語來說，是指在許多科學分支中所共有的一個不證自明的假設。

在各種科學領域的基礎中，或許會有某些未經證明而被接受的附加假定，此類假定稱為“公設”。公理是許多科學分支所共有的，而各個科學分支中的公設則是不同的。公設的有效性必須建立在現實世界的經驗上。確實，亞里斯多德曾言，若讀者懷疑公設的真實性，這門科學之內容便無法成功傳遞。

傳統的做法在《幾何原本》中很好地描繪了出來，其中給定一些公設（從人們的經驗中總結出的幾何常識事實），以及一些“公理”（極基本、不證自明的斷言）。