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2018年太原中考數學模擬試題

(滿分：120分　時間：120分鐘)

第Ⅰ卷　選擇題(共30分)

一、模擬試題選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)

1．－的倒數是( B )

A．－　　　　　　　　　B．－　　　　　　　　　C.　　　　　　　　　D.

2．由2016年8月25日上午召開的教育部新聞發布會上獲悉，去年我國學生資助資金繼續保持增長勢頭，首次突破1500億元，增長近10%，將“1500億”用科學記數法表示為( C )

A．1.5×1010? B．15.0×109? C．1.5×1011? D．15.0×1011

3．下列運算正確的是( D )

A．(ab)2＝ab2? B．3a＋2a2＝5a2? C．2(a＋b)＝2a＋b? D．a·a＝a2

4．如圖是由5個相同的小正方體組成的立體圖形，這個立體圖形的俯視圖是( C )

5.下列說法正確的是( C )

A．為了審核書稿中的錯別字，選擇抽樣調查

B．為了了解春節聯歡晚會的收視率，選擇全面調查

C．“射擊運動員射擊一次，命中靶心”是隨機事件

D．“經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈”是必然事件

6．甲、乙兩人進行飛鏢比賽，每人各投5次，所得平均環數相等，其中甲所得環數的方差為15，乙所得環數如下：0，1，5，9，10，那么成績較穩定的是( A )

A．甲? B．乙? C．都一樣? D．無法確定

7．根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱為“無字證明”、“無字證明”可用于驗證數與代數、

圖形與幾何等領域中的許多數學公式和規律，體現了數形結合的思想方法，展現了數學美，上面圖形驗證的內容是( B )

A．乘法公式? B．勾股定理

C．直角三角形中的三角函數? D．中位線定理

8．按照山西省“改薄工程”規劃，我省5年投入85億元用于改造農村縣(市、區)薄弱學校，促進義務教育均衡發展，其中某項“改薄工程”建設，甲隊單獨完成需要20天，若由甲隊先做13天，則剩下的工程由甲、乙兩隊合作3天完成．問乙隊單獨完成這項工程需要多少天？若設乙隊單獨完成這項工程需要x天，根據題意可列方程為( B )

A．13＋3＋x＝20? B.＋3(＋)＝1? C.＋＝1? D．(1－)＋x＝3

9．關于拋物線y＝x2－(a＋1)x＋a－2，下列說法錯誤的是( C )

A．開口向上? B．當a＝2時，經過坐標原點O[來源:學#科#網Z#X#X#K]

C．a＞0時，對稱軸在y軸左側? D．不論a為何值，都經過定點(1，－2)

10．如圖，平行四邊形ABCD的頂點C在y軸正半軸上，CD平行于x軸，直線AC交x軸于點E，BC⊥AC，連接BE，反比例函數y＝(x＞0)的圖象經過點D.已知S△BCE＝2，則k的值是( D )

A．2? B．－2? C．3? D．4

第Ⅱ卷　非選擇題(共90分)

二、填空題(本大題5小題，每小題3分，共15分)

11．已知點P(2－a，2a－7)(其中a為整數)位于第三象限，則點P坐標為__(－1，－1)__．

12．某地體育測試用抽簽的方式決定考試分組和考試項目，具體操作流程是：①每位考生從寫有A、B、C的三張紙片中隨機抽取一張確定考試分組；②再從寫有“引體向上”、“立定跳遠”、“800米”的三張紙片中隨機抽取一張確定考試項目，則考生小明抽到A組“引體向上”的概率等于____．

13．如圖，△ABC中，A，B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是(－1，0)，以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍．設點B的對應點B′的橫坐標是2，則點B的橫坐標是__－2.5__．

,第13題圖)　　　,第14題圖)　　　,第15題圖)

解析：如圖，過點B、B′分別作BD⊥x軸于D，B′E⊥x軸于E，∴∠BDC＝∠B′EC＝90°.∵△ABC的位似圖形是△A′B′C，∴點B、C、B′在一條直線上，∴∠BCD＝∠B′CE，∴△BCD∽△B′CE.∴＝，設點B的橫坐標為x，則DC＝－1－x，EC＝2＋1＝3，又∵＝，∴＝，∴2(－1－x)＝3，∴x＝－2.5，∴點B的橫坐標為－2.5.

14．如圖，小宇用黑白棋子組成的一組圖案，第1個圖案由1個黑子組成，第2個圖案由1個黑子和6個白子組成，第3個圖案由13個黑子和6個白子組成，按照這樣的規律排列下去，則第10個圖案中共有__121__個黑子．

解析：第1、2圖案中黑子有1個，第3、4圖案中黑子有1＋2×6＝13個，第5、6圖案中黑子有1＋2×6＋4×6＝37個，第7、8圖案中黑子有1＋2×6＋4×6＋6×6＝73個，第9、10圖案中黑子有1＋2×6＋4×6＋6×6＋8×6＝121個

15．如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，點P是對角線AC上的一個動點，過點P作EF⊥AC分別交AD、AB于點E、F，將△AEF沿EF折疊，點A落在點A′處，當△A′BC是等腰三角形時，AP的長為__或__．[來源:Z.xx.k.Com]

解析：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∠DAC＝∠BAC，∵EF⊥AA′，∴∠EPA＝∠FPA＝90°，∴∠EAP＋∠AEP＝90°，∠FAP＋∠AFP＝90°，∴∠AEP＝∠AFP，∴AE＝AF，∵△A′EF是由△AEF翻折，∴AE＝EA′，AF＝FA′，∴AE＝EA′＝A′F＝FA，∴四邊形AEA′F是菱形，∴AP＝PA′.①當CB＝CA′時，∵AA′＝AC－CA′＝3，∴AP＝AA′＝.②當A′C＝A′B時，∵∠A′CB＝∠A′BC＝∠BAC，∴△A′CB∽△BAC，∴＝，∴A′C＝，∴AA′＝8－＝，∴AP＝AA′＝

三、解答題(本大題共8小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

16．(本題共2小題，每小題5分，共10分)

(1)計算：(－)－1－|－3|－(3－π)0＋2cos45°.

解：原式＝－4－3－1＋＝－8＋.

(2)分解因式：(x2－x)2－12(x2－x)＋36.

解：原式＝(x2－x－6)2＝[(x＋2)(x－3)]2＝(x＋2)2(x－3)2

17．(本題7分)解分式方程：－＝.

解：原方程可化為3(3x－1)－4x＝7，

整理得：5x＝10，

解得：x＝2，

經檢驗x＝2是原方程的解，

則原分式方程的解為x＝2

18．(本題7分)近幾年來，國家對購買新能源汽車實行補助政策，2016年某省對新能源汽車中的“插電式混合動力汽車”實行每輛3萬元的補助，小劉對該省2016年“純電動乘用車”和“插電式混合動力車”的銷售計劃進行了研究，繪制出如圖所示的兩幅不完整的統計圖．

(1)補全條形統計圖；

(2)求出“D”所在扇形的圓心角的度數；

(3)為進一步落實該政策，該省計劃再補助4.5千萬元用于推廣上述兩大類產品，請你預測，該省2016年計劃大約共銷售“插電式混合動力汽車”多少輛？

注：R為純電動續航行駛里程，圖中A表示“純電動乘用車”(100km≤R＜150km)，B表示“純電動乘用車”(150km≤R＜250km)，C表示“純電動乘用車”(R≥250km)，D為“插電式混合動力汽車”．

解：(1)補貼總金額為：4÷20%＝20(千萬元)，

則D類產品補貼金額為：20－4－4.5－5.5＝6(千萬元)，補全條形統計圖如圖：

(2)360°×＝108°，

答：“D”所在扇形的圓心角的度數為108°；

(3)根據題意，2016年補貼D類“插電式混合動力汽車”金額為：6＋4.5×＝7.35(千萬元)，

∴7350÷3＝2450(輛)，

答：預測該省2016年計劃大約共銷售“插電式混合動力汽車”2450輛

19．(本題7分)請閱讀以下材料，并完成相應的任務．[來源:Z。xx。k.Com]

傳說古希臘畢達哥拉斯(Pythagonas，約公元570年－約公元前500年)學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題．他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，比如，他們研究過1、3、6、10、…，由于這些數可以用如圖所示的三角形點陣表示，他們就將其稱為三角形數，第n個三角形數可以用(n≥1)表示．

任務：請根據上面材料，證明以下結論．

(1)任意一個三角形數乘8再加1是一個完全平方數；

(2)連續兩個三角形數的和是一個完全平方數．

證明：(1)∵×8＋1＝4n2＋4n＋1＝(2n＋1)2，∴任意一個三角形數乘8再加1是一個完全平方數；

(2)∵第n個三角形數為，第n＋1個三角形數為，

∴這兩個三角形數的和為：＋＝＝(n＋1)2，

即連續兩個三角形數的和是一個完全平方數

20．(本題8分)某校準備組織學生及家長代表到桂林進行社會實踐活動，為便于管理，所有人員必須乘坐同一列高鐵，高鐵單程票價格如表所示，二等座學生票可打7.5折，已知所有人員都買一等座單程火車票需6175元，都買二等座單程火車票需3150元；如果家長代表與教師的人數之比為2∶1.

(1)參加社會實踐活動的老師、家長代表與學生各有多少人？

(2)由于各種原因，二等座單程火車票只能買x張(x＜參加社會實踐的總人數)，其余的須買一等座單程火車票，在保證所有人員都有座位的前提下，請你設計最經濟的購票方案，并寫出購買單程火車票的總費用y與x之間的函數關系式；

(3)在(2)的方案下，請求出當x＝30時，購買單程火車票的總費用．

解：(1)設參加社會實踐的老師有m人，學生有n人，則學生家長有2m人，

根據題意得：，

解得：，則2m＝10.

答：參加社會實踐的老師、家長與學生各有5、10與50人；

(2)由(1)知所有參與人員總共有65人，其中學生有50人，

①當50≤x＜65時，最經濟的購票方案為：

學生都買學生票共50張，(x－50)名成年人買二等座火車票，(65－x)名成年人買一等座火車票．

∴火車票的總費用(單程)y與x之間的函數關系式為：y＝60×0.75×50＋60(x－50)＋95(65－x)，

即y＝－35x＋5425(50≤x＜65)；

②當0＜x＜50時，最經濟的購票方案為：一部分學生買學生票共x張，其余的學生與家長老師一起購買一等座火車票共(65－x)張．

∴火車票的總費用(單程)y與x之間的函數關系式為：y＝60×0.75x＋95(65－x)，

即y＝－50x＋6175(0＜x＜50)，

∴購買單程火車票的總費用y與x之間的函數關系式為：y＝；

(3)∵x＝30＜50，

∴y＝－50x＋6175＝－50×30＋6185＝4675，[來源:Zxxk.Com]

答：當x＝30時，購買單程火車票的總費用為4675元

21．(本題10分)放風箏是大家喜愛的一種運動，星期天的上午小明在市政府廣場上放風箏．如圖，他在A處不小心讓風箏掛在了一棵樹梢上，風箏固定在了D處，此時風箏AD與水平線的夾角為30°，為了便于觀察，小明迅速向前邊移動，收線到達了離A處10米的B處，此時風箏線BD與水平線的夾角為45°.已知點A，B，C在同一條水平直線上，請你求出小明此時所收回的風箏線的長度是多少米？(風箏線AD，BD均為線段，≈1.414，≈1.732，最后結果精確到1米)．

解：如圖，作DH⊥BC于H，設DH＝x米．

∵∠AHD＝90°，

∴在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AD＝2DH＝2x，AH＝＝x，

在Rt△BDH中，∠DBH＝45°，BH＝DH＝x，BD＝x，

∵AH－BH＝AB＝10，

即x－x＝10，

∴x＝5(＋1)，

則小明此時所收回的風箏的長度為：

AD－BD＝2x－x＝(2－)×5(＋1)≈(2－1.414)×5×(1.732＋1)≈8米．

答：小明此時所收回的風箏線的長度約是8米

22．(本題12分)△ABC和△DBE是繞點B旋轉的兩個相似三角形，其中∠ABC與∠DBE、∠A與∠D為對應角．

(1)如圖①，若△ABC和△DBE分別是以∠ABC與∠DBE為頂角的等腰直角三角形，且兩三角形旋轉到使點B、C、D在同一條直線上的位置時，請直接寫出線段AD與線段EC的關系；[來源:學科網]

(2)若△ABC和△DBE為含有30°角的直角三角形，且兩個三角形旋轉到如圖②的位置時，試確定線段AD與線段EC的關系，并說明理由；

(3)若△ABC和△DBE為如圖③的兩個三角形，且∠ACB＝α，∠BDE＝β，在繞點B旋轉的過程中，直線AD與EC夾角的度數是否改變？若不改變，直接用含α、β的式子表示夾角的度數；若改變，請說明理由．

解：(1)線段AD與線段CE的關系是AD⊥EC，AD＝EC；

(2)如圖②，連接AD、EC并延長，設交點為點F，∵△ABC∽△DBE，∴＝，∴＝.∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2，∴△ABD∽△CBE.∴＝.在Rt△ACB中，∠ACB＝30°，tan∠ACB＝，∵tan30°＝，∴＝.又∵∠DBE＝90°，∠DEB＝30°，∴∠4＝60°，∴∠5＋∠6＝120°.∵△ABD∽△CBE，∴∠5＝∠CEB＝30°＋∠7，∴∠7＝∠5－30°，∠6＝120°－∠5，∴∠7＋∠6＝90°，∴∠DFE＝90°即AD⊥CE；(3)在繞點B旋轉的過程中，直線AD與EC夾角的度數不改變，且夾角度數為(180－α－β)度

23．(本題14分)如圖，拋物線y＝ax2＋bx過A(4，0)，B(1，3)兩點，點C、B關于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H.

(1)求拋物線的表達式，并求出△ABC的面積；

(2)點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，當△ABP的面積為6時，求出點P的坐標；

(3)若點M在直線BH上運動，點N在x軸上運動，當以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，請直接寫出此時△CMN的面積．

解：(1)把點A(4，0)，B(1，3)代入y＝ax2＋bx，得，解得；∴該拋物線的表達式為y＝－x2＋4x；∴對稱軸為x＝2，∴點C的坐標為(3，3)，又∵點B的坐標為(1，3)，∴BC＝2，∴S△ABC＝×2×3＝3；(2)如圖①，過P點作PD⊥BH交BH于點D，設點P(m，－m2＋4m)，根據題意，得BH＝AH＝3，HD＝m2－4m，PD＝m－1，∴S△ABP＝S△ABH＋S四邊形HAPD－S△BPD，即6＝×3×3＋(3＋m－1)(m2－4m)－(m－1)(3＋m2－4m)，∴3m2－15m＝0，m1＝0(舍去)，m2＝5，∴點P坐標為(5，－5)；

(3)以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，分三類情況討論：①以點M為直角頂點且M在x軸上方時，如圖②，CM＝MN，∠CMN＝90°，

則△CBM≌△MHN，∴BC＝MH＝2，BM＝HN＝3－2＝1，∴M(1，2)，N(2，0)，由勾股定理得：MC＝＝，∴S△CMN＝××＝；②以點M為直角頂點且M在x軸下方時，如圖③，作輔助線，構建如圖③的兩直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，得Rt△NEM≌Rt△MDC，∴EM＝CD＝5，MD＝ME＝2，由勾股定理得：CM＝＝，∴S△CMN＝××＝；③以點N為直角頂點且N在y軸左側時，如圖④，CN＝MN，∠MNC＝90°，作輔助線，同理得：CN＝＝，∴S△CMN＝××＝17；④以點N為直角頂點且N在y軸右側時，作輔助線，如圖⑤，同理得：CN＝＝＝，此時點N與點A重合，∴S△CMN＝××＝5；⑤以C為直角頂點時，不能構成滿足條件的等腰直角三角形；綜上所述：△CMN的面積為：或或17或5